kolmapäev, 1. oktoober 2008

Kes lahendab ülesande?

On pakkuda lahendamiseks pealtnäha naljaga pooleks, aga tegelikult olemuslikult väga huvitav ülesanne.
Eelinfo ja ülesanne on järgmised.
Teatavasti defineeritakse ruumi mõõtmete kaudu (paljudes teadustes on ruumi mõiste vajalik, kuigi tegelikkses objektiivselt ruumi olemas ei ole, nagu pole ka aega, mis tekib lihtsalt liikumiste võrdlemisel. Kui pole liikumist, pole ka aega. Ruumiga on sama lugu: elusolenditele on kaasa antud mingisugune ettekujutus elukeskkonnast, mida nimetame ruumiks jne). Mõõtmestest. Kui mõõtmeid pole, siis pole ka ruumi. Kui mõõtmeid on üks, siis on meil tegemist sirgega. Kui mõõtmeid on kaks, siis on tasand, kui kolm, siis ruum, kui neli, siis hüperruum jne. Mõõtmete arvu tähistame n.
Kuidas nimetada kehi, mis paiknevad n-mõõtmelises ruumis? See oleks järgmiselt: n=0, siis on punkt, kui n=1, siis siht, kui n=2, siis riht ehk kiht (vimane sõna pole siiski soovitatav, kuna teame, et ka kihil võib paksus ehk kolmas mõõde olemas olla), kui n=3, siis tiht e tahkis e tihkis (keha pole soovitatav mõiste), kui n=4, siis niht e hüperkeha (-tiht), kui n=5, siis viht jne.
Niisiis, edasine arutlus tugineb esialgu induktsioonile, siis aga deduktsioonile. Koostame veidravõitu tabeli, mis on ometi väga olemuslik. Tabelisse kanname mõõtmed, vastavad kehade nimetused, sümmeetriliste kehade nimetused n-mõõtmelises ruumis, neid kehi ühendavate osade nimed (on mõõtmete poolest alati ühe võrra maas, näiteks kuup tekib tahkudest, mis on ju 2-mõõtmelised), tippude, servade jne arv iga n-mõõtmelise keha tarbeks.













Tabel on osliselt valmis. Kuidas aga täita tühjad lahtrid? Ilmselt mingi eeskirja järgi, mida matemaatikas nimetatakse algoritmiks (kui päris täpne olla, siis seaduspärasuseks, mitte aga näiteks seaduseks, sest seadused - need on mädad asjad, sest seadusi võtab riigikogu vastu, neid saab tühistada, muuta, jne).
Püüame siis leida kuidagi neid algoritme. Tippude arvu kohta käiv seaduspärasus hakkab kergesti silma, sest need on kõik arvu kahe astmed ja vastav algoritm on siis 2n (kahjuks siinne vorming ülaindeksid ei luba). Servade jaoks on algoritmi märksa keerukam leida, kuid ülesanne on siiski lahenduv: n*2n-1 (n-1 on kahe astendaja). Probleem ilmneb tahkude arvu leidmisel. Kui konstrueerime algoritmi 3n-2*2 (n-2 on arvu kolm astendaja), siis kehtib see alates 3. mõõtmest (tegelikult kõrgemate mõõtmete kohta andmed puuduvad), kuid mitte 1. ja 2. mõõtme puhul. On võimalik kasutada veel iteratsiooni ehk leida vastav funktsioon, et ülesannet lahendada (arvud mingi funktsiooniga vastavusse seada), see näeks välja järgmiselt:










Näeme, et eriti ei tule sellest midagi välja. Kui ta võib-olla esimeses lähenduses kehtibki väiksemaarvuliste mõõtmete korral, siis hiljem kisub asi jamaks.
Ülesanne edasimõtlemiseks: kas leidub vastav algoritm, mis rahuldab tingimust, et kehtib ükskõik, milliste mõõtmete arvu korral? Leida algoritm ka nahkude tarbeks.
Veel mõtlemist. Valemid on arvutuseeskirjad, mis kehtivad teatud eelduste korral. Kuid kas on olemas ka metavalemid, mille abil saab leida teisi valemeid? Milliseid? (metavalemid aitaksid ju tunduvalt õppimist lihtsustada: kui on vastav valem teada, on justkui terve rodu valemeid selge, justnagu tähesti lugemise võime annab meile võimaluse lugeda teskste, konstrueerida uusi mõtteid, tekste ja sõnu. Antud ülesande korral kehtiv metavalem kaotaks leida algoritm või valem tahkude ja nahkude jaoks, sest metavalemi abil saaksime ju seda kohe leida).

2 kommentaari:

Mihkel ütles ...

Teema on küll küllalti aegunud, kuid sellest hoolimata tasub inimkonda tarkusega valgustada. Et valemimassist midagi arusaada, siis kõigepealt kirjutan mida tähendavad teatud tähised! n-mõõtmete arv, A-tippude arv, S-servade arv, T-tahkude arv, N-nahkude arv (paremat seletust ei suutnud keegi suur Tarkpea anda!), V-vahkude arv (sama lugu mis nahkudega).

A=2ˇn ehk 1D=2, 2D=4, 3D=8, 4D=16 jne

S=n*A/2
T=(n-1)*S/4
N=(n-2)*T/6
V=(n-3)*N/8

Jüri ütles ...

Kui satume kunagi hüperruumi, siis on infot kohe võtta.
Antud juhul on meil tegemist akadeemilise näpuharjutusega ja Tarkpea võib jälle rahul olla :D.